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Pregunta de relatividad especial

 
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SergioPL81
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Registrado: 20 Nov 2006
Mensajes: 13
Ubicación: Barcelona

MensajePublicado: 21 Nov 2006 11:37    Asunto: Pregunta de relatividad especial Responder citando

Un observador A) ve que otro observador B) se mueve a velocidad 0 x + 0,4c y. También ve que otro observador C) se mueve a velocidad 0,4 x + 0 y.
(c es la velocidad de la luz).

Si aplicamos el teorema de transformación de velocidades obtenemos que B) ve moverse a C) a 0,3666 x – 0,4 y. Por otro lado C) ve moverse a B) a -0,4 x + 0,3666 y.

¿Como es que la relación de estas 2 velocidades no cumple que una es igual a la otra con el signo cambiado? Tal y como exige el principio de relatividad.

Si alguien pudiera responder a esta duda me haría un gran favor Smile.
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Algol
Invitado





MensajePublicado: 21 Nov 2006 13:05    Asunto: Responder citando

No es una pregunta trivial(creo) en un foro de aficionados a la astronomia.Estoi estudiando fisica de acceso a la uned para despues intentar hacer poco a poco el primer grado. No tengo ni idea de la solución a tu problema, pero mirare a ver si alguien me lo puede explicar, no se si aqui abra alguno. Hasta luego.
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JandroChan
Magnitud 4
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Registrado: 11 Jun 2006
Mensajes: 905
Ubicación: Alcalá de Guadaira (Sevilla)

MensajePublicado: 21 Nov 2006 13:58    Asunto: Responder citando

Explícanos un poco el teorema de transformación de velocidades, que he mirado algo pero no acabo de pillarlo Embarassed

Supongo que todos tienen el mismo origen de coordenadas.

Si lo representamos graficamente, desde B, C parecería moverse en -y y en +x

Desde C, B parecería moverse en -x y en +y

Hasta ahí vamos bien, pero según dices el teorema dice que son las mismas velocidades pero con signo cambiado. No acabo de entender el por qué. Escribe algo sobre ese teorema.

No sé si estoy equivocado, esto me queda grande. Very Happy
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alshain
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Registrado: 26 Nov 2005
Mensajes: 278

MensajePublicado: 26 Nov 2006 21:48    Asunto: Responder citando

Tienes un error. Ten cuidado de ir paso a paso.

En un caso quieres calcular la velocidad de, digamos para visualizarlo, el "objeto" C (digamos el orígen de coordenadas o algo localizado en él) respecto del "sistema" B. Para ello partes de la velocidad del "objeto" C respecto del "sistema" A y la velocidad del "sistema" B respecto del "sistema" A.

Esta segunda velocidad te determina la forma de la transformación inercial entre sistemas, o de la matriz L que da la transformación de Lorentz.

(V en B) = L (V en A)

V en A es la cuadrivelocidad de C en A, es decir, (gamma, v gamma, 0, 0).

L es una matriz 4x4 con L00 = gamma, L11 = 1, L22 = gamma, L33 = 1, y L20 = L02 = -v gamma.

Ambos gammas son iguales porque el módulo v de la velocidad de C en A es igual que el de la velocidad de B respecto de A.

En el otro caso quieres calcular la velocidad de, digamos, el "objeto" B respecto del "sistema" C. Para ello partes de la velocidad del "objeto" B respecto del "sistema" A y la velocidad del "sistema" C respecto del "sistema" A. Procedes de la misma forma, ahora:

(V en C) = L (V en A)

V en A es la cuadrivelocidad de B en A, es decir, (gamma, 0, v gamma, 0).

L es una matriz con L00 = gamma, L11 = gamma, L22 = 1, L33 = 1, y L10 = L01 = -v gamma.

El resultado son dos velocidades iguales pero de direcciones opuestas.

Esto es quizas algo engorroso, pero es la mejor forma de ver cómo funciona la composición de velocidades y entender las transformaciones de Lorentz.

Un saludo.
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bellaluna
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Registrado: 05 Oct 2006
Mensajes: 1010
Ubicación: Alicante

MensajePublicado: 27 Nov 2006 19:05    Asunto: Responder citando

jojojojojo no he pillado ni una... Shocked Shocked Shocked

Al igual que Jandro...te pido una pequeña explicacion sobre el teorema de transformacion de velocidades... Very Happy

Saludos Wink

PD:juas...que recuerdos...yo hace ya dos años que no estudio física y no me he acordado de nada Sad
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SergioPL81
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Registrado: 20 Nov 2006
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Ubicación: Barcelona

MensajePublicado: 15 Dic 2006 08:26    Asunto: Responder citando

Los resultados que he obtenido los he sacado usando la fórmula que da Einstein sobre el teorema de la adición de velocidades. Este teorema dice que si un observador A que ve que otro observador B se mueve a velocidad vi en un eje que podemos llamar X, entonces si A ve que un cuerpo C se mueve a velocidad vx X vy Y la velocidad con la que B debe ver moverse a C es:

En el eje X vale: vx' = (vx - vi)/(1 -vx*vi)
En el eje Y vale: vy' = 1/Sigma(vi) * vy/(1-vx*vi)

Esta formula se obtiene a partir de derivar las transformaciones de Lorentz que relacionan las mediciones de A y B para la ecuación de puntos que sigue C) en el sistema de A).

Hay que decir que no he empleado 4-Vectores como ha hecho Alshain en su demostración que estudiaré ahora.
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SergioPL81
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Registrado: 20 Nov 2006
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MensajePublicado: 15 Dic 2006 08:33    Asunto: Responder citando

Muchas gracias por tu respuesta tan detallada alshain,

La verdad es que no he empleado cuadrivectores para obtener mis resultados sino simplemente la fórmula de la transformación de velocidades, esperaba que estuviera bien, pero revisaré bien tu explicación a ver donde es que me haya podido equivocar.
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Redstar
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MensajePublicado: 15 Dic 2006 12:48    Asunto: Responder citando

SergioPL81

Te propongo que simplifiques el problema. Olvida el observador en A y traza el desplazamiento de B con respecto de C suponiendo uno de ellos esta inmovil en el centro de un sistema de coordenadas, de este modo vera al otro moverse en una sola direccion que puedes llamar x.

Conclusion el movimiento se torna en relacion a un solo eje en tu nuevo sistema de coordenadas. Vuelve a calcular ahora los datos y si sigues con el problema buscamos otro metodo de explicacion.

Si sigue estimando tu metodo recuerda que posees velocidad en x e y, en tal caso las transformaciones cambian y debes aplicar el metodo general de trasformaciones pues existen valores de trasnformacion de:
x en x`
y en y`
z=z`
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SergioPL81
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MensajePublicado: 16 Dic 2006 10:20    Asunto: Responder citando

He analizado la solución propuesta por Alshain y entiendo que lo que hace es determinar la velocidad de un objeto (B o C) en el sistema del otro mediante una transformación de cuadrivectores, lo cual es correcto.

La matriz L por lo tanto está compuesta por los coeficientes de las ecuaciones de Lorentz para cada coordenada. Por ejemplo si B se mueve a 0,4 (segundos luz/segundo) x respecto a A entonces los coeficientes para calcular t’ serán Ltt = gama(0,4) Ltx = gamma(0,4)*0,4 y Lty = 0. Para x’ Lxt = gamma(0,4)*0,4 Lxx = gamma(0,4) Lxy = 0 y para y’ Lyy = 1 Lyx=0 Lyt = 0. (Excluyo la Z porque no es necesaria para el ejemplo.

Entonces si coges el 4-Vector del movimiento de B para A tienes (t,x,y) = (dt; dt*0,4; 0)

Entonces para calcular este 4-Vector para C obtienes:
t’ = gamma(0,4)*dt
x’ = x = 0,4*dt
y’ = gamma(0,4)*(-0,4)

Con lo que queda el cuadrivector (gamma(0,4)*dt; 0,4*dt; -gamma(0,4)*0,4*vi)

Que muestra una velocidad de 0,4 / gamma(0,4) x - 0,4 y

Análogamente para calcular la velocidad con la que B ve a C haces el mismo procedimiento, el cuadrivector de la velocidad de C para A es: (dt; 0; 0,4*dt)

Para este velocidad se obtiene:

t’ = gamma(0,4)*dt
y’ = y = 0,4*dt
x’ = gamma(0,4)*(-0,4)

Con lo que queda el cuadrivector (gamma(0,4)*dt; -0,4*gamma(0,4)*dt; 0,4*vi)

Que muestra una velocidad de -0,4 x + 0,4 / gamma(0,4) y


Finalmente llego al mismo resultado que al abrir este foro con lo que mantengo que no se cumple el principio de relatividad con las velocidades obtenidas y esto da mucho que pensar.
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alshain
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Registrado: 26 Nov 2005
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MensajePublicado: 16 Dic 2006 21:25    Asunto: Responder citando

Sergio, he vuelto a hacer los cálculos por mi cuenta y veo que tuve un lamentable error y tu resultado es correcto. Sin duda es poco intuitivo. Pero el principio de relatividad solo exige que no es posible determinar la velocidad absoluta de un móvil, o de forma más general, que las leyes físicas son invariantes en los sistemas de referencia inerciales, y esto se cumple.

Un saludo.
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SergioPL81
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MensajePublicado: 17 Dic 2006 16:37    Asunto: Responder citando

Es cierto que el principio de relatividad sólo dice que no se puede calcular la velocidad en un sistema absoluto, pero yo entiendo además que este principio implica que si tu ves a un cuerpo alejarse en una dirección, entonces el otro cuerpo debe verte a ti alejarte con igual velocidad pero en sentido contrario. Es en este sentido por lo que me extraña que no se llegue a ese resultado.

Además. Volviendo a los datos del problema anterior es evidente que A calculará que C ve que A se mueve a -0,4y. Pero si calculas la velocidad con la que B ve a A (-0,4 x) y la velocidad con la que B ve a C. Si usas estos 2 datos para recalcular la velocidad con la que B ve moverse a A llegas al resultado que B ve moverse a A a una velocidad que en módulo no es 0,4, pero otra dirección: 0,034782609 x - -0,398484843. (Si calcularas la velocidad con la que A ve a C a partir de los datos de A sí que daría 0,4 y).

Esto es hasta cierto punto contradictorio porque uno esperaría poder calcular la velociad con la que un "cuerpo" ve moverse a otro por cualquier camino.

Estos datos son algo "pesados" pero ayudan a explicar porque me intrigan tanto las propiedades de la transformación de velocidades.
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alshain
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MensajePublicado: 17 Dic 2006 19:45    Asunto: Responder citando

SergioPL81 escribió:
Es cierto que el principio de relatividad sólo dice que no se puede calcular la velocidad en un sistema absoluto, pero yo entiendo además que este principio implica que si tu ves a un cuerpo alejarse en una dirección, entonces el otro cuerpo debe verte a ti alejarte con igual velocidad pero en sentido contrario.

Pues así de primeras no veo que esta segunda propiedad se siga necesariamente de la primera.

SergioPL81 escribió:
Además. Volviendo a los datos del problema anterior es evidente que A calculará que C ve que A se mueve a -0,4y. Pero si calculas la velocidad con la que B ve a A (-0,4 x) y la velocidad con la que B ve a C. Si usas estos 2 datos para recalcular la velocidad con la que B ve moverse a A llegas al resultado que B ve moverse a A a una velocidad que en módulo no es 0,4, pero otra dirección: 0,034782609 x - -0,398484843. (Si calcularas la velocidad con la que A ve a C a partir de los datos de A sí que daría 0,4 y).

Esto es hasta cierto punto contradictorio porque uno esperaría poder calcular la velociad con la que un "cuerpo" ve moverse a otro por cualquier camino.

No he hecho el cálculo, pero ahora te voy a creer. Sin duda es sorprendente y he de confesar que no me he planteado este problema hasta ahora, o al menos no así. Parece contradictorio, pero quizás no lo sea.

Quizás conozcas la estructura del grupo de Lorentz. Un grupo es un conjunto de objetos con ciertas propiedades. En este caso, el grupo de Lorentz está formado por las matrices que generan las transformaciones de Lorentz. Como ejemplo puedes considerar el grupo de rotaciones espaciales, un subgrupo contenido en el grupo de Lorentz. Los elementos del grupo actúan sobre la representación matemática de objetos físicos. El grupo de rotaciones espaciales gira y el grupo de Lorentz gira y pone a cierta velocidad ("boost"), etc.

Un grupo se puede definir a través de sus generadores, un conjunto de elementos con los que se puede generar cualquier elemento del grupo. Los grupos vienen definidos por las propiedades algebraicas de sus generadores. En el caso de las rotaciones espaciales, los generadores no commutan. Físicamente esto significa que no es lo mismo girar un objeto respecto del eje A y luego respecto del eje B, que girarlo primero respecto del eje B y luego respecto del eje A.

Pues bien, en el grupo de Lorentz ocurre que los generadores de boosts (elementos que actúan sobre la representación matemática de objetos físicos poniéndolos a cierta velocidad) en direcciones distintas tampoco commutan. Es decir, que no es lo mismo poner a un objeto a velocidad V respecto de A y luego a velocidad W respecto de B, que ponerlo primero a velocidad W respecto de B y luego a velocidad V respecto de A.

Sin haber analizado con detalle la situación, tengo la impresión que puede explicarse a través de esta peculiaridad del grupo de Lorentz.

Un saludo.
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SergioPL81
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Registrado: 20 Nov 2006
Mensajes: 13
Ubicación: Barcelona

MensajePublicado: 19 Dic 2006 21:55    Asunto: Responder citando

Tienes razón Alshain, algo había oído sobre la no conmutación de los generadores de boost y además la precesión de Thomás creo que permite calcular justamente el efecto de que la velocidad con la que calculas que B ve a C no tenga el sentido opuesto a la que C ve a B.

Sin embargo es una cosa curiosa, si me he "rallado" tanto con este tema es porque antes estaba analizando el movimiento circular uniforme relativista donde uno de los 2 cuerpos la frecuencia de rotación que ve el cuerpo que acelera es mayor que la del otro. Este hecho indudablemente tiene que ver con la deformación del espacio por efecto de las fuerzas, de hecho se comenta en el artículo de la relatividad especial pero es algo que quería averuguar porque la problemática que presenta el movimiento acelerado relativista me fascinaba (y me fascina, pero parece demasiado difícil), jejeje.

Ah gracias por el interés mostrado para responder mi pregunta Alshain Smile

Un saludo!
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alshain
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Registrado: 26 Nov 2005
Mensajes: 278

MensajePublicado: 20 Dic 2006 00:01    Asunto: Responder citando

Sí, probablemente la precesión de Thomas también es consecuencia del curioso hecho de que los boosts en direcciones distintas no conmuten. Por cierto que rotaciones y boosts tampoco conmutan.

Para un boost K en la dirección 1 y otro en la dirección 2 (K_{1} y K_{2}) se tiene K_{1}K_{2} - K_{2}K_{1} = - i R_ {3} (o de forma más compacta [K_{1}, K_{2}] = - i R_{3}). Aquí R_{3} es una rotación respecto de la dirección perpendicular al plano que forman 1 y 2.

Esto significa lo siguiente. Primero, como escribí arriba, que no es lo mismo poner a un objeto a velocidad V respecto de 1 y luego a velocidad W respecto de 2, que ponerlo primero a velocidad W respecto de 2 y luego a velocidad V respecto de 1. Segundo, que estas dos cosas son equivalentes si se realiza una rotación respecto del eje 3.

Por ejemplo, imagina que tienes un objeto al que le aplicas un boost en dirección -y, luego otro en dirección +x, luego +y, luego -x, todos con velocidad V:

K_{total} = K_{-y}K_{x}K_{y}K_{-x}

En la mecánica clásica se tiene:

K_{-y}K_{x} = K_{x}K_{-y}

Por tanto, como K_{y}K_{-y} = 1 y K_{x}K_{-x} = 1

K_{total} = K_{x}K_{-y}K_{y}K_{-x} = 1.

Que es el resultado que cabe esperar, ya que está claro que impulsar el objeto hacia -y, +x, +y, -x siempre con la misma velocidad lleva a la misma situación que la inicial.

En la relatividad especial se tiene:

K_{-y}K_{x} - K_{x}K_{-y} = -i R_{z}

Por tanto:

K_{total} = (-i R_{z} + K_{x}K_{-y})K_{y}K_{-x}
K_{total} = -i R_{z}K_{y}K_{-x} + K_{x}K_{-y}K_{y}K_{-x}
K_{total} = -i R_{z}K_{y}K_{-x} + 1

Resumiendo, aunque parezca poco intuitivo la situación es diferente a la inicial y entre otras cosas el objeto ha sufrido una rotación respecto del eje z.

Supongo que en el movimiento circular de una partícula aparece una situación similar.
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